Prologue.html

　小生が魔方陣の研究に取り組んだのは，コンピュータ‐プログラミングの実習例題がきっかけであった。40才を過ぎてからマイコンを始めた小生は，もっぱら雑誌を読んで独学しながら BASIC でプログラムを組んだ。最初は，元気が良かった。
　魔方陣の魅力にはすぐに取りつかれたが，芸術的な構成よりも，正解の全数計数そのものに興味を持った。それも一般型の計数である。
　FOR 文や NEXT 文の幾重にも入れ子になった複雑なプログラムを組んで，いろいろ探索計数した。やがてフラグの ON/OFF やサブルーチンの活用など，ずいぶん賢いプログラムを組めるまでに到ったが，しかし，８ビットや 16 ビットのマイクロ‐コンピュータではすぐに限界が来た。立体方陣の計数では，メモリーが足りなくなった。スピードにも不満が生じた。アセンブラーで機械語プログラムを組んでもみたが，大きな計数はできなかった。
　高速高性能のマシンが欲しいと思う反面で，予備研究の必要を感じた。
　調べる‘場合の数’をどうやって予め減らすか。
　結局，方陣の構造研究を始めた。勘だけでは，独断論に陥りやすい。やはり数学的にやるしかなかった。なのに，自分の数学力は皆無に等しい。
　でも，アマチュアてぇ者は，本来恐いもの知らずで，全然懲りない。小生も結局その１人だった。
　これは形容矛盾だが，恐る恐る大胆無謀に研究を始めた。先ずは参考書を調べた。だが，先人の研究てぇものは，どうもあまり役に立たない。
　計数に最適化した数学的技法を独自に開発するしか無かった。使う数学は，幸い簡単なものだ。時間や運動や円や無限が絡んで来ることはないから，中学数学のレベルで済む。わが内なるアルキメデスは，失った自信を臆面も無くすぐに取り戻した。
　ここは古典ギリシャ人のようにやるしかないのである。とにかく数える。同類を見つける。くくる。まとめる。変数を含んだ式で表してみる。そして大胆に推理する‥‥‥。
　構造が配列なので，コンピュータ数学が役に立つかも知れないとも思ったが，専門書は難し過ぎて歯が立たない。それにいまは統計学も漸化式も，必要ない。
　愚直に多元連立一次方程式をいっぱい立てた。だが，変数の個数ほどに式があるわけでもない。式が過剰にあっても，すらりと解けるわけでもない。それでもメゲずにやみくもに‘関係式’をさがした。そして，見つけるとすぐにそれを解釈し，方陣構成や計数に利用した。
　壁には何度も当たったが，パソコンが見つけ出した解そのものがヒントになることがあった。
　使える道具が増えて来た。そしてさらに力強い道具を獲得する幸運があった。
　‘拡張空間’や‘補数セット’や‘変換構成法’などは，泥臭いながらも，けっこう役に立つものだ。別個と思われた現象の間に予想外の架橋をしてくれた。
　方陣の構造を決定しているのは，厳密な代数的論理と，限られた資源を有効に使うという現実的要請の２つである。例えば，「１〜Ｎの自然数を重複なく全個用いる」という条件などは，後者の代表である。だが，これがなかなかに手ごわい。式に表わし難い。そんな時は発想を切り替えて，制約を反映した集合を用意することにした。‘利用可能な補数のセット’のような‥‥。
　場合の数を減らす時には，発見した関係式を有効に利用した。例えば背理法を持ち出して，そのつど具体的に論じることもした。
　自然数の数論的特質が，方陣の構造を外部から決定している。そういう感触も得た。それも利用した。外堀を埋めないことには，城には攻め込めない。
　ある種の方陣には，変換移動という‘演算’まがいのもの（単項演算だが）がある。その演算について閉じた‘集合’なども定義できる。「群論」を使ってみたい気がしたこともあったが，“道楽”と思い，結局自制した。
　ニュースとなるような決定的な成果をまだ上げたわけではない。だが，いま小生の思考の過程と結果を文章と式によって表すのは，たぶん同好の士にとって無益ではない，と考えた。そこでいま思い切って中間報告を試みる。
　研究は，いつ中断されるかわからない。小生の場合も，せちがらい生活のために実際10年間以上もの中断・空白があった。いま失業中の暇な時期にこそ，研究をまとめなければならない。60歳という年齢の問題もある。ボケないうちに腹中にたまった考えを吐き出さなければならない。

　今後の課題を箇条書きにしてみる。
（１）まだまだ基礎研究は足りない，と感じている。何が見つかるかはわからないので，いろいろやってみるしかない。例えば，関係式がまだ他にも見つかるはずだ。
　また見つかった無数の解を整理・分析して，相互に可能な変換法をさがすのも良いかも知れない。
（２）得た結果を系統的に整理・統合して，できれば統一的な理論を見つけたい。
（３）平面六方陣や七方陣，或いは立体五方陣や六方陣にも挑戦したいが，一般型を計数・チェックするにはパソコンがもう２世代ぐらい進化してくれないといけない。調べる場合の数が，飛躍的に多くなるからだ。今でさえ，立体四方陣の２種類については計数し切れていない。
（４）小生の今のパソコン‐プログラムを改良して標準化・高速化を果たしたい。Ｃ言語については，あいにく習いたてで，まだミニ Pascal みたいな使い方しかできないでいる。

　ここで大先輩の阿部楽方先生に感謝の気持ちを表わしたいと思う。師は，かって次々と宿題を出して，小生を叱咤激励してくださった。そして時にはホメてくださった（けっきょくあのホメ言葉が，小生をして研究に立ち戻らせる最大の力になった）。だが，他人の研究に眼を向けない小生の性癖は全然治っていない。師はまだきっと渋面を続けているに違いない。論語に曰く，「学びて思わざるは，すなわち暗し。思いて学ばざるは，すなわち危うし。」小生などは，典型的に後者のタイプだと思う。まだ懲りずにアルキメデス気取りで居る。

　（July 5, 2000：記者：摂田　寛二（Kanji Setsuda)）

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	プロローグ　小生が魔方陣の研究に取り組んだのは，コンピュータ‐プログラミングの実習例題がきっかけであった。40才を過ぎてからマイコンを始めた小生は，もっぱら雑誌を読んで独学しながら BASIC でプログラムを組んだ。最初は，元気が良かった。　魔方陣の魅力にはすぐに取りつかれたが，芸術的な構成よりも，正解の全数計数そのものに興味を持った。それも一般型の計数である。　FOR 文や NEXT 文の幾重にも入れ子になった複雑なプログラムを組んで，いろいろ探索計数した。やがてフラグの ON/OFF やサブルーチンの活用など，ずいぶん賢いプログラムを組めるまでに到ったが，しかし，８ビットや 16 ビットのマイクロ‐コンピュータではすぐに限界が来た。立体方陣の計数では，メモリーが足りなくなった。スピードにも不満が生じた。アセンブラーで機械語プログラムを組んでもみたが，大きな計数はできなかった。　高速高性能のマシンが欲しいと思う反面で，予備研究の必要を感じた。　調べる‘場合の数’をどうやって予め減らすか。　結局，方陣の構造研究を始めた。勘だけでは，独断論に陥りやすい。やはり数学的にやるしかなかった。なのに，自分の数学力は皆無に等しい。　でも，アマチュアてぇ者は，本来恐いもの知らずで，全然懲りない。小生も結局その１人だった。　これは形容矛盾だが，恐る恐る大胆無謀に研究を始めた。先ずは参考書を調べた。だが，先人の研究てぇものは，どうもあまり役に立たない。　計数に最適化した数学的技法を独自に開発するしか無かった。使う数学は，幸い簡単なものだ。時間や運動や円や無限が絡んで来ることはないから，中学数学のレベルで済む。わが内なるアルキメデスは，失った自信を臆面も無くすぐに取り戻した。　ここは古典ギリシャ人のようにやるしかないのである。とにかく数える。同類を見つける。くくる。まとめる。変数を含んだ式で表してみる。そして大胆に推理する‥‥‥。　構造が配列なので，コンピュータ数学が役に立つかも知れないとも思ったが，専門書は難し過ぎて歯が立たない。それにいまは統計学も漸化式も，必要ない。　愚直に多元連立一次方程式をいっぱい立てた。だが，変数の個数ほどに式があるわけでもない。式が過剰にあっても，すらりと解けるわけでもない。それでもメゲずにやみくもに‘関係式’をさがした。そして，見つけるとすぐにそれを解釈し，方陣構成や計数に利用した。　壁には何度も当たったが，パソコンが見つけ出した解そのものがヒントになることがあった。　使える道具が増えて来た。そしてさらに力強い道具を獲得する幸運があった。　‘拡張空間’や‘補数セット’や‘変換構成法’などは，泥臭いながらも，けっこう役に立つものだ。別個と思われた現象の間に予想外の架橋をしてくれた。　方陣の構造を決定しているのは，厳密な代数的論理と，限られた資源を有効に使うという現実的要請の２つである。例えば，「１〜Ｎの自然数を重複なく全個用いる」という条件などは，後者の代表である。だが，これがなかなかに手ごわい。式に表わし難い。そんな時は発想を切り替えて，制約を反映した集合を用意することにした。‘利用可能な補数のセット’のような‥‥。　場合の数を減らす時には，発見した関係式を有効に利用した。例えば背理法を持ち出して，そのつど具体的に論じることもした。　自然数の数論的特質が，方陣の構造を外部から決定している。そういう感触も得た。それも利用した。外堀を埋めないことには，城には攻め込めない。　ある種の方陣には，変換移動という‘演算’まがいのもの（単項演算だが）がある。その演算について閉じた‘集合’なども定義できる。「群論」を使ってみたい気がしたこともあったが，“道楽”と思い，結局自制した。　ニュースとなるような決定的な成果をまだ上げたわけではない。だが，いま小生の思考の過程と結果を文章と式によって表すのは，たぶん同好の士にとって無益ではない，と考えた。そこでいま思い切って中間報告を試みる。　研究は，いつ中断されるかわからない。小生の場合も，せちがらい生活のために実際10年間以上もの中断・空白があった。いま失業中の暇な時期にこそ，研究をまとめなければならない。60歳という年齢の問題もある。ボケないうちに腹中にたまった考えを吐き出さなければならない。　今後の課題を箇条書きにしてみる。（１）まだまだ基礎研究は足りない，と感じている。何が見つかるかはわからないので，いろいろやってみるしかない。例えば，関係式がまだ他にも見つかるはずだ。　また見つかった無数の解を整理・分析して，相互に可能な変換法をさがすのも良いかも知れない。（２）得た結果を系統的に整理・統合して，できれば統一的な理論を見つけたい。（３）平面六方陣や七方陣，或いは立体五方陣や六方陣にも挑戦したいが，一般型を計数・チェックするにはパソコンがもう２世代ぐらい進化してくれないといけない。調べる場合の数が，飛躍的に多くなるからだ。今でさえ，立体四方陣の２種類については計数し切れていない。（４）小生の今のパソコン‐プログラムを改良して標準化・高速化を果たしたい。Ｃ言語については，あいにく習いたてで，まだミニ Pascal みたいな使い方しかできないでいる。　ここで大先輩の阿部楽方先生に感謝の気持ちを表わしたいと思う。師は，かって次々と宿題を出して，小生を叱咤激励してくださった。そして時にはホメてくださった（けっきょくあのホメ言葉が，小生をして研究に立ち戻らせる最大の力になった）。だが，他人の研究に眼を向けない小生の性癖は全然治っていない。師はまだきっと渋面を続けているに違いない。論語に曰く，「学びて思わざるは，すなわち暗し。思いて学ばざるは，すなわち危うし。」小生などは，典型的に後者のタイプだと思う。まだ懲りずにアルキメデス気取りで居る。　（July 5, 2000：記者：摂田　寛二（Kanji Setsuda)）　前ページに戻る　　　　　ページトップに戻る