エピローグ

　その後のことについて二，三記しておきたいことがある。
　先ず鈴木睦教授(東北大）との出あいである。魔方陣関連のホームページを通じて，拙文をお送り申し上げたところ，寛容にも御一読をいただき，大変に喜んでくださった。その後もずっと温かい御声援・御後援を賜り，研究上の課題・ヒントを幾つもいただいた。ページに拙文全部を掲載してもいただいた。
　まことに身に余る御厚遇なのだが，そのことが励ましにもなって，幾つかの研究が進捗を見せた。そして，そのことを教授御自らが一番喜んでくださった。記して深く感謝申し上げたい。本当に有り難いこととひたすら恐縮している。
　平面魔方陣で５次以上は，小生にとって研究未開拓の「処女地」だったが，教授からいろいろアドバイスをいただいて，５，６，７，８，９次まで研究が進んだ。小生の古い遅いパソコンがそこまで付いて来るとは全然予想もしなかったが，幸運にも幾つかの重要な研究成果を得られた。さすがに高次方陣では，まだ輪郭が少しつかめた程度だが，今後の課題が明らかになっただけでも，意味ある「前進」と思っている。
　小生の方法論は，終始「代数的研究」一本槍であった。方陣の構造を表現する手段として連立方程式しか思い付かない以上，それを愚直に根気良く計算してみるしか策は無かった。この武器にどのくらいの射程距離があるのか，実際に試してみないことには評価はできない。頑固に使い尽くして，その可能性と限界を両方知りたいと思った。
　その他にも，使えるものは何でも使った。方陣研究に特有の言語も使ったので，およそ「純粋数学」からは程遠い。ただし，途中の推理の全てが論理的であるようには，できるだけ努めた。この技術と知識を誰にもわかる形で示し，誰でも使えるようにするために。
　小生のテーマは，徹頭徹尾「補数対称型」と「完全型」方陣の構造解析にあった。その研究の過程で，次数にかかわらない共通の性質について，幾つかの重要な知識を得た。その概略は，七方陣の研究の文末に総括しておいた。要は，この二種類の間には極めて密接な構造的関連がある，と言うことだ。
　個々の方陣の個性の豊かさについても，知れば知るほど面白く感じた。個性は一般性の裏側にある。共通の性質を知れば知るほど，個性が浮き立って見える。それが新鮮な驚きだった。
　それにしても，魔方陣と言うのは一体何なのだろう，とあらためて思う。自然数を少数個と小さな配列を用意して，ほんの少しの約束をしただけなのに，パズルを解いている内にこんなにも面白い奥の深い「世界」に誘われてしまうのだから。
　そう，我々が出あっているのは，道もあり，迷路もある構造を持った「世界」なのだ。
　もちろん，自然の物質世界ではない。むしろイデアの住む理想世界だが，断じて空想世界ではない。妄想を拒絶する数学的客観性があり，明々白々の普遍性がある。
　鈴木教授も小生も，どうもこの「世界」の摩訶不思議な魅力に心を奪われてしまったようなのだ。
（December 20, 2000：追記者：摂田　寛二(Kanji Setsuda)）

　各論的な研究・調査が大体終わった頃に，鈴木教授の御案内で，オールレンショウ＆ブラエ両氏の面白い研究方法を知った。「ひな形変換法」である。この英国の数学者コンビは，４次，８次，12次，16次の正方連結型完全方陣に適用して，解の総数計算法に新たな可能性を見い出していた。
　小生は，この方法を拡張して他のタイプの魔方陣にも適用できないかと考えた。
　早速にも３次，４次，５次，７次，８次，‥‥‥と調べて，ひな形変換法の有効性を確信した。ただし，そのためには，原初方陣の構成に特別の工夫をする必要があった。いろいろやってみて，特別なタイプの汎魔方陣ばかりでなく一般的な対称方陣にも奇数方陣にも，有効な方法であることがわかった。
　一言で述べれば，これは原初方陣の解集合と目的方陣の解集合との間に，解の一対一対応を可能にする変換法のことであるが，それがたった１つのひな形を媒介にするだけで済む。実際の使い方はけっこう難しいが，真に魔法のような方法なのである。
　大概の魔方陣に適用して成果を上げたが，その過程でこの方法が魔方陣の構造解析や基礎分析に大いに役立つことがわかった。基礎論をやりたかった小生は，すぐに夢中になった。原初方陣は，正方配列そのものを模倣している。だから，この変換法は配列と目的方陣とを直接に結び付ける。いつでも配列と各魔方陣とを慎重に比較し念入りに分析する習慣が，小生の身に付いた。
　いろいろ面白いことがわかってきた。‥‥‥
　要するに，正方配列に鍵があり，その力は真に偉大なのである。
　だが，ひな形変換法は，あくまで類推に頼る方法である。最初の解は，「ひな形」として目的方陣の側から与えられる。解そのものを自ら直接に産み出せるわけではない。
　それなのにかくも威力がある。そのこと自体がまことに不思議なのだが，それでも肝心の目的方陣の根本・源泉・基本解の中身については何も教えてくれない。そのことが次第に不満に思えて来た。知識欲てぇものには，まことに際限が無い。
　小生の大好きな立方体の三方陣や四方陣にこのひな形変換法を適用して分析を進めている内に，高次元の「超立体魔方陣」の構成に思い至った。
　絵にも描けない四次元や六次元の魔方陣を配列の中に作ろうと言うのである。ずいぶんと酔狂なことを考えたものだが，次元を上げると数学的対称性が高まる。幾つもの違った個性を１つにまとめて考えることができる。そのメリットは大きいのではないかと，直観した。
　我がドン‐キホーテは，知性の槍を掲げて果敢に魔物の「風車」に挑んだ。‥‥‥
　その成果が果たして無謀の失敗だったか，夢のある快挙だったかどうかは，まだ学的には確定していない。まだ表立った賛成も反対も出ていない。
　小生自身は，成功したと信じている。そこから引き出される結論が十分に美しいからである。‥‥‥
　最初の成果の一部を，いくつかの論文にまとめてみた。専門の数学者ならば，抽象的形式の数式に頼って議論を進めるのであろうが，小生は，自慢じゃぁないが，若い時にそのような訓練を受けていない。単なるアマチュア‐ディレッタントの方陣作成者に過ぎない。ここはアルキメデスのように具体的に調べ，古拙な推理を積み重ねて行くしか手が無かった。
　前から正方連結型の三次元四方陣と二次元八方陣が内容的に何故にかくも似ているのか，不思議でならなかったが，そのことの説明ができて，今は嬉しい気がしている。
　「次元変換法」は，目的方陣の最初の源泉とその系統を教えてくれる点で強力だが，使える条件が極めて限られている。今のところ，二，三の成果を上げたのみである。将来性があるかと言うと，必ずしもそうとも言えない。例えば，次の課題である八次元二方陣と二次元十六方陣をいざ調べ尽くそうと思っても，今の技術ではとてもおぼつかない。気の遠くなるように大変な作業の連続になるのが眼に見えているから。‥‥‥
　ともあれ，個性が極めて豊かでほとんど孤立した現象のように見えた各魔方陣に，幾つか共通の「宿命」があり，系統があることがしだいにわかってきた。このことは，基礎論としては幾ばくかの進展かと思う。多少の貢献をし得たかとも，思う。
　今後は若い研究者にさらにいろいろ研究していただいて，ますます基礎論が充実することを，ただただ謹んで祈るばかりである。
　（June 14, 2001：追記者：摂田　寛二(Kanji Setsuda)）

　2001年秋頃から，眼の具合が悪くて，研究がなかなか進まなくなった。原因の１つは，眼の酷使だが，老化現象が予想より早く来た。視力が，ゆっくりではあるが，確実に失われて行く。誠に悩ましい思いをしている。執筆にも，どんどんミスタイプが多くなる。読者にも，御迷惑をおかけすることを心苦しく感じている。
　年齢が年齢だから，すぐに引退してもかまわないのだが，まだまだアイデアが尽きない。いろいろ実験して調べたいことがあるので，無理にも研究を続けている。
　奇数次（五次／七次／九次‥‥）の研究がまだ不十分だと感じていたので，「完全オイラー方陣」のさらなる研究に取りかかった。ｎ進法分解して上位／下位面ともにラテン方陣になるタイプで，汎対角線の全てについてもラテン構造を追求した魔方陣である（下の註を参照）。
　五次の「鈴木方陣」が２つとも完全オイラー方陣であることに気付いたのが，最初だった。他にも，あるのだろうか。五次では，他にはもう無いことがわかっている。
　次は七次だが，総数が幾つになるのかわからなかった。いろいろ試したが，完全オイラー方陣が続々見つかる一方で，そうでない対称汎七方陣や汎七方陣ももっと多数見つかる。それを後から仕分けしていたのでは，とても最後まではたどり着けない。何しろものすごく時間を食う作業で悪名高いのだから。
　諦めて放置していたのだが，あるとき急に思い付いた。
　「完全オイラー方陣の定義通りにｎ進法でプログラムを組んで数えさせたら，どうだろうか。」
　各行列・汎対角線上で数字を各１回しか使えないという条件をどう扱うか。その課題をフラグを最大限に活用して解決し，先ず五次で試した。実現したところで，七次に挑んだ。結果は大成功で，極めて高速のプログラムを組むことができた。
　計数の結果，対称汎七方陣が 3456個。汎七方陣が 38102400個とわかった。
　次は，構造解析である。分解図の上位／下位の各面を直接に分析することを心がけた。いろいろな変換構成法の開発も試みた。内部構造がだいぶ良く見えるようになった。
　それで，面白い構成法を発見した。「桂馬とび法」を使って主対角線１本から単位面４つを構成する。主対角線が 48本出来れば，単位面が 192面出来る。それを上位／下位に振り分けて，選別しながら組み合わせて，3456個もの解を合成するのである。
　五次で試して，七次にも適用した。大いに有効であることが確かめられた。
　対称汎五方陣 16個，汎五方陣 3600個，対称汎七方陣 3456個，汎七方陣 38102400個を，極めて高速に再構成できた。解の総数の計算法もわかった。
　さらに，他の十次以下では「完全オイラー方陣」が構成不可能であることも，わかった。次の希望は，十一次，十三次である。
　ｎ次の「完全オイラー方陣」をｎ進法分解によって作ろうとする試みは，偶数次では必ず失敗する。九方陣でも不可能である。そのかわりに四方陣・八方陣では，二進法分解によって「完全オイラー方陣」を構成することができる。ただし，詳しく調べてみると，これはどうも「正方連結型」の汎魔方陣に限るようで，単なる汎八方陣にはそうでない反例が幾つも見つかる。
　九方陣でも，三進法分解によって「完全オイラー方陣」を作ることができるが，これもあるタイプの多重三方陣型に限られるようだ。
　かっては万能と期待され，五次／七次であんなに鋭い切れ味を示した「グレコ‐ラテン方陣」にも，得手不得手があり，できることとできないことがあるようだ。これは，そうとわかってみれば当然の話で，だから，我々はどんな強力な方法でも，いちいち確かめてから使う他は無いのである。予想は，あくまで予想なのである。論理的に証明されたのならともかく，神のごときオイラー先生の御託宣でも，鵜呑みに信じることは賢明ではない。
　だが，がっかりするにも，及ばない。「グレコ‐ラテン方陣」の概念は，いつでも珍品中の珍品を，そしてその所以を明快に説明してくれるからである。
　正方連結型も完全オイラー方陣も，高次の汎魔方陣の中では，珍品中の珍品になる。だから，研究のしがいがある。解の総数が少なくて数えやすいのが，何よりも有難い。
　しかも，それらは変わり過ぎてもいないのが良い。どんなに珍しくても，余りにも個性的なために「特殊」と言われて皆に敬遠されるようでは，困るのだが，その心配は無い。むしろ「代表解」と言って良い正統的品格があるように思われる。
　何しろこの二種は，元々低次では一般的な汎魔方陣と同値だったのである。四次の汎魔方陣は，どの汎魔方陣も必ず「正方連結型」だ。五次の汎魔方陣では，どの汎魔方陣も必ず「完全オイラー方陣」になる。七次／八次になると，この「奇跡の一致」が崩れてしまうが，由緒は正しいのである。だから小生は，高次でも珍重して「代表解」扱いをしている。
　高次の魔方陣では，一般型の汎魔方陣の計数にこだわる理由は余り無いと思う。総数が何億個もある場合，それをプリントアウトして各個分析する物好きが居るだろうか？　解が多過ぎても，むしろ幻想に等しい。（何しろ，おいらは何億円／何兆円てぇ金額には日頃から縁遠い生活をしている貧乏老書生だからなぁ。）
　下品なほど珍奇で無ければ，積極的に珍品の構成を追求して良いと思う。
註：五次（七次）の「完全オイラー方陣」定義：
　（１）分解図のどの面でも，各行・各列・各汎対角線の内容が｛0, 1, 2, 3, 4(, 5, 6)｝の各１個ずつで構成されていて，重複使用や欠落が無い。したがって，その和はいつも同一の式で計算される。ゆえに定和が実現している。
　　（0＋1＋2＋3＋4）×５＋（0＋1＋2＋3＋4）= 60(Decimal)
　　（0＋1＋2＋3＋4＋5＋6）×７＋（0＋1＋2＋3＋4＋5＋6）= 168(Decimal)
　（２）したがって，どの面でも｛0, 1, 2, 3, 4(, 5, 6)｝が各５回(７回)ずつ使われる。
　（３）２面の対応するポジションの数字を組み合わせた場合に，その25個(49個）の内容は必ず｛00，01，02，03，‥‥，41，42，43，44(N5i)｝あるいは,｛0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ‥‥, 64, 65, 66(N7i)｝であって，その中に重複や欠落が無い。
　これは，古典的魔方陣で使用する数字を自然数列１〜25(49）に限定する一番最初の約束に対応している。
（On June 18, 2003 筆者：摂田　寛二(Kanji Setsuda)）

　その後，二進法で四次，八次の「完全オイラー方陣」の構成を試みた。新しい「グレコ‐ラテン方陣構成法」によって。今後は，これを『新オイラー法』と呼びたい。
　手順は，（１）先ず‘０’と‘１’だけで単位面を作る。（２）次にそれを適切に組み合わせて４層，６層の二進法分解図を作る。（３）そこから直接に計算して，解を合成する。（４）正しい解かどうかテストをする。
　実際に作ってみると，最初の単位面の設計しだいで，どんなタイプの汎魔方陣でも「完全オイラー方陣」として作れることがわかった。
　とくに八次では，何種類もの汎魔方陣を実際に作ることができた。
　それによってはっきりしてきたことは，「完全オイラー方陣」は，正方連結型汎魔方陣に限られるものではないことだ。確かに正方連結型汎魔方陣は全て「完全オイラー方陣」であったが，「完全オイラー方陣」はそれ以上にいろいろのものをもっと自由に作れるのであった。
　小生の予想は見事に外れた。しかし，悔しいと思う以上に嬉しい。「完全オイラー方陣」の豊かな可能性にあらためて惚れ直したのだから。
　しかも，この「新オイラー法」は，構成法として極めて高速で，パソコンのメモリーさえ充分にあれば，かなり大きな解集合をも短時間に作れてしまうことがわかった。本質的な構造に即した方法の持つ強味というものを，あらためて痛感した。
　最近の成果は，次の集合図である。
 
＊＊　各種汎八方陣の解集合の相互関係　＊＊

　　　┌──────────────────┐　　　　　　　　　　　
　　　│　　　　〔対称八方陣〕　　　　　　　│　　　　　　　　　　　
　┌─┼──────────────────┼─〔汎八方陣〕───┐
　│┌┼──〔完全オイラー八方陣〕─────┼────────┐　│
　│││　　　　　　　　　┌────────┼─〔正方連結─┐│　│
　│││〔対称汎八方陣〕　│正方連結対称汎　│　　汎八方陣〕││　│
　│││　　　　　　　　　│　八方陣　Ａ個　│　　　　　　　││　│
　││└─────────┼────────┘　　　　　　　││　│
　││┌─〔完全八方陣〕─┼─────┐　　　　　　　　　　││　│
　│││　　　　　　　　　│　　　　　│　　　正方連結　　　││　│
　│││　　　　　　　　　│正方連結　│　　　　汎八方陣　　││　│
　│││　　　　　　　　　│完全八方陣│　　　　　　　　　　││　│
　│││　　　　　　　　　│　　Ｂ個　│　　　　　Ｃ個　　　││　│
　│││　　　　　　　　　└─────┼───〔Ｄ個〕───┘│　│
　│││　　　　　　　　　　　　　　　│　　　　　　　　　　　│　│
　│└┼───────────────┼〔完全オイラー八方陣〕┘　│
　│　│　　　　　　　　　　　　　　　│　　　　　　　　　　　　　│
　│　│　　　　　　　　　　　　　　　│　　　　　　　　　　　　　│
　│　└────〔完全八方陣〕────┘　　　　　　　　　　　　　│
　└───────────────────────────────┘
　Ａ＝5760；　Ｂ＝368640；　Ｃ＝119064960；　Ｄ＝119439360；
（On August 12, 2003: 摂田　寛二(Kanji Setsuda)）

　その後，この『新オイラー法』を九次，三次，五次，七次の各種魔方陣に適用して試験した。九次は，三進法を用いた。単位面の設計しだいで，何でも作れることがわかった。
　行列さえ「オイラー型」になれば，それ十分なのだ。おかげで，対称型の「オイラー方陣」も作れるようになった。奇数次の場合には，特有の苦労があるが，良く考えて慣れて行けば，すぐに克服できる。
　総じてわかったことは，ほとんど全ての魔方陣に「オイラー型」があるということ。これを逆に言えば，ほとんど全ての魔方陣が「オイラー方陣」と言う共通の構造を持つ，ということになる。その理由も含めて，基礎研究の新たな必要を痛感する。
（On October 19, 2003: 摂田　寛二(Kanji Setsuda)）

　案の定，眼が見えなくなった。耳鼻咽喉の調子も悪い。視覚・嗅覚を失い，味覚・聴覚もおぼつかなくなって，いよいよ決心が付いた。東京大学付属病院に入院して手術を受けた。 2004年は，病気との闘いに明け暮れた。
　先生方をはじめ皆様のおかげで，失ったものの７割がたを回復したが，約１年と数ヶ月間は研究・執筆を中断した。パソコンにも触れずメールも読めない日々がこんなに長く続いたのは，初めての経験だ。ほとんど苦痛に近かった。
　年齢の問題がある。64歳になって，物忘れもひどくなってきている。第一線への復帰はもう叶わないかもしれないと，半分は諦めていた。
　眼の中に人工のレンズが入っているにもかかわらずそれに慣れてきて, 2004年も暮れ頃から，自分の健康に少しずつ手応えを感じ始めた。それで勉強を再開した。
　先ずは，今までに書いてきたものを読み返してチェックすることから始めた。新しいパソコンで再確認の実験も一々試みた。その努力が続いて，今回の改訂作業に結実した。
　やはり，見直しの作業は絶対に必要だった。４，５年前に書いた記事には，特に未熟な点が多い。それに気付いて，今汗顔の思いで改訂作業を必死に続けている。
　また，病気療養中に考えていたことをまとめて，基礎論の新稿を書き下ろしもした。最初は，足場をしっかりと固める自己確認の意味合いから書き始めたのだが，議論の基礎になる土台の部分が見通しよくなってきて，最終的には読者諸氏にも少しは議論がわかりやすくなったのではないかと，自負している。
（On February 1, 2005: 摂田　寛二(Kanji Setsuda)）

　自分で言うのも何だが，小生は「基本図マニア」である。作業の初めにいつもしっかりと基本図を描き，それから定義の連立方程式を立てる。基本図は，たいてい変数名を表現したり，ポジションの位置情報を表現したりする。場合によっては「原初方陣」にもなる。
　この基本図に最初から間違いがあってはいけないので，近頃はプログラムを組んで，パソコンに描かせている。いろいろ経験を積んで，「汎用の」プログラムも開発できた。
　だが，手ごわいのは，多次元超立体方陣の基本図である。そのものズバリと１枚の絵に描くことは，神ならぬ人間には元々できないことなので，低次元に展開した絵を何枚も描くしかない。それらを総合して，後は想像力で超立体方陣を頭の中に構成する。それを多次元配列に写して行く。しかし，本来感覚を超えた作業なので，頭を使う。焼けるほど使う。それでいて，いつも「これで良いのか」という不安にさいなまれる。悩ましい限りである。
　三次元小立方体複数個に展開する「見取り図」を作成中に，たまたま同じ種類の相互に違った絵を何枚も描ける簡単なプログラムを発見した。「いったい何枚の基本図を描けるものか」とふと思った。次に「理論的に可能な全数の見取り図を描いてみよう」と思った。
　もともと１個の超立体方陣なのに，見る角度を変えれば，我々には何通りもの違った姿で見える。しかも，その向こう側の陰の姿は誰にも見えない。だから，何枚も絵を描く必要があるのである。では，いったい何枚描けるのか。何枚必要なのか。
　いろいろ工夫しているうちに全数描くプログラムが出来た。そして描かせてみて，驚いた。何と四次元二方陣では 384枚，六次元二方陣では 46080枚も描けるのである。この中には反転・回転形が何個も含まれているので，それを省くと, 48枚, 960枚, 5760枚出来る。
　何だ!?　これは解の数と同じではないか。
　絵を並べてみると，どうやら「原初方陣」になっているのである。
　そうであるからには，適当な「ひな形」を見つけてやれば，変換して解を直接に全数作れるのではないか。次々とアイデアがひらめく。...　いろいろ実験して調べているうちに，今までに研究した何もかもが１つに収斂して行く気がした。
　かくして，特定の魔方陣の「嘘みたいに超簡単・超高速な」構成法が編み出された。その詳しい報告は，各論を見ていただきたい。
　この方法で作れる魔方陣は，多い。けっして全部ではないが，重要な魔方陣が幾つも作れる。例えば，平面四方陣では，補数対称型と汎対角線魔方陣。立方体四方陣では，正方連結完全立体四方陣。平面八方陣では，四方陣多重型正方連結完全八方陣，三連立型正方連結対称汎八方陣も作れる。九方陣では，三方陣多重型のオイラー九方陣が作れる。....
　ｎ進法に秘密があるのである。だから，作れる魔方陣はどれも「完全オイラー方陣」だ。珠玉の珍品として定評のある大概の魔方陣が，この方法で作れる。これには興奮した。
　小生には，特別な感慨もある。何しろｎ進法，完全オイラー方陣，ひな形変換法，原初方陣，多次元超立体魔方陣など，小生が手がけた研究の大部分が１つにつながったのである。
　魔方陣ワールドの奥の奥にどうやら「大連関」がある。もしかしたら，これこそが万物の創造主が仕掛けた偉大な「謎」の１つではないだろうか。哲学好きの血が騒いでならない。
（On May 2, 2005: 摂田　寛二(Kanji Setsuda)）

　世に有り難きは，真の師の存在である。2005年の秋口に，阿部楽方老師が上京なされた。その折に俄かのご来訪を賜った。老師は既に喜寿になって居られたが，頭を盛んに使っておられるせいか，いかにも若々しい印象で，頼もしいかぎりであった。いまだに気力旺盛な「現役」としてご活躍で，素数や掛け算を使う「新方陣」の作成などに目覚ましい成果を上げて居られる。今度も「世紀の新発見」をしたと，誇らしげに豪語して居られた。
　小生にとってはもう20年近く前の話になるが，師からお手紙をいただいて魔方陣研究の手ほどきを受けた。著書を通じて古典方陣のオーソドックスな研究法も教わった。不肖の弟子ではあるが，小生には返すに返せぬ恩義がある。
　今度もまた貴重なご激励を賜り，さらに課題までいただいた。「完全立体四方陣の解の総数をぜひ求めなさい。二進法でなら，数え切れるのではないか。そういう印象を受けた。」
　師は，コンピュータなどご自身では一切使わない暗算の天才だが，小生の技術を高く評価してくださった。「君なら出来るはずだ」とまで，言ってくださった。
　驚くやら恐縮するやらして，完全立体四方陣の計数に本気になって再挑戦した。悪戦苦闘したが，その成果が何とか得られ，数え切った。そして，そのことに小生自身が一番驚いた。計数結果の報告は，記事にしてある。そちらを読んでほしい。
　それにしても，師の慧眼には恐れ入った。そして，指導力にもあらためて敬服した。いつの日か小生も，若い人たちにそのような「一言」がはたして言えるようになるものだろうか，と思わされたことであった。
（On September 25, 2005: 摂田　寛二(Kanji Setsuda)）

　最近よく思うのは，基本図と対象方陣の関係である。
　基本図の概念を少し拡張して考えれば，原初方陣や多次元超立体魔方陣を「基本図」の範疇に含めてよいのではないか。... 最近そう考えるようになった。
　ただし，基本図をただ１個描くのではなくて，その変形図まで含めて全数個描くものとする。そう拡張してやれば，それら「基本図の集合」は，今まで求めた「原初方陣」あるいは「多次元超立体魔方陣」の集合と区別が全然つかない。全く同じものと考えてよい。
　今までの研究で，原初方陣と対象方陣の間には，一対一対応の関係があり，解の総数は同じだけあることがわかっている。そして，原初方陣の解の１つ１つにひな形変換法を施せば,対象方陣の解集合が得られることがわかっている。
　同様に，多次元超立体魔方陣の展開基本図の集合とひな形変換法とによって，特定のタイプの対象方陣の解全数個の集合が直接に得られることが，最近わかった。
　つまり，その働きにおいても，基本図・原初方陣・多次元超立体魔方陣の三者は時に同じになり，区別が全然つかなくなる。だから，全く同じものとして扱ってよいのではないか。
　それ故，基本図の集合の作り方は，多次元超立体魔方陣や原初方陣を作るやり方と全く同じでよい。つまり流用・借用してかまわないのである。ひな形が確立している場合には，ひな形変換法の逆変換を考え，逆関数を作る要領で原初方陣つまり基本図を作ればよい。
　こう考えると，幾つかの現象を少しは統一的に扱うことができるようになる。そうすることで，技術や知識の融通がいろいろと利くようになり，思いがけない成果を上げることができる。... そんな風に思えてならない。
 


　　　　　　　　　　　　┌─────────┐
　　　　　　　　┌───┼　ひな形変換法　─┼───┐
　　　　　　　　│　　→└─────────┘→　　│
　　┌─────│────┐　　　　　　　┌────│──────┐
　　│　基本図の集合　　　│　　　　　　　│　対象方陣の集合　　　│
　　│　（原初方陣，　　　│　　　　　　　│（各種の汎四方陣，　　│
　　│　超立体魔方陣，　　│←一対一対応→│正方連結汎立体四方陣，│
　　│　　　　　等々）　　│　　　　　　　│三連立型汎八方陣等々）│
　　└──────────┘　　　　　　　└───────────┘
　それにしても，不思議なのは，どんな次数のどんなタイプの魔方陣にも，上図のようなペアの平行世界が必ずあり，それらを架橋するひな形が必ず見つかることだ。そして，ひな形変換法が必ず成立する。そして，このたった一通りの変換法で，基本図の集合から対象方陣の解の全数個を再構成できてしまうのである。
　我々が今までに研究した対象の中に，良いひな形がどうしても見つからない反例は１個も無かった。ひな形そのものを見つけるのは，そう簡単ではない。大変な作業ではあるが，やりがいはあった。何しろ，いつでもそうして「大基本解」を見つけたからである。
　しかし，何故なのか。いったいこれは何を意味するというのだろう。
　ますます謎が深まった気がする。
（on December 25, 2005; 追記者：摂田　寛二(Kanji Setsuda)）

　ここで「根源方陣」について最近考えていることを書いておこう。
　最新の構成法で多次元超立体魔方陣の「基本図の集合」（つまり「展開見取り図」全個）を作ると，それが各種の魔方陣の「根源方陣」になり得ることがわかった。適当なひな形とひな形変換法を用意すれば，基本図から直接に目的方陣を作れるのである。
　４次では，同じ基本図から補数対称四方陣と汎対角線型の全四方陣（完全四方陣，正方連結完全四方陣を含む）を構成することができる。８次では，同じ基本図から「完全オイラー型」の正方連結完全立体四方陣，四方陣多重型正方連結完全八方陣，そして三連立型正方連結対称汎八方陣などが直接に構成できる。９次では，「オイラー型」の三方陣多重型補数対称九方陣が作れる。それぞれの基本図は，四次元超立体二方陣，六次元超立体二方陣，四次元超立体三方陣の「展開見取り図」であった。
　この場合の基本図は，どの次数でも，基本的に１種類しか無い。しかし，そこから，変換しだいで何種類もの目的方陣を作ることができる。だから，同じ基本図に基づいたものどうしは「兄弟方陣」である。そして，基本図（の集合）が表す元の存在の方を「根源方陣」と見なすことができる。
　特に六次元二方陣の場合は，三次元四方陣にも二次元八方陣にも展開される。ゆえに，この全く違った２種類が「兄弟方陣」になる。次元の壁を越えたこの連関は，印象深い。

　これらの不思議の数学的根拠は何か。次の等式を指摘しておきたい。
　２×２×２×２＝４×４
　２×２×２×２×２×２＝４×４×４＝８×８
　３×３×３×３＝９×９
　多次元超立体魔方陣もその展開形も，その可能性は，全てこれらの単純な等式に示されている。そう指摘したい。

　しかし，６次や10次では，こうは行かない。次の等式の意味が魔方陣に戻って来ない。
　６×６＝２×２×３×３
　10×10＝２×２×５×５
　３次，５次，７次のような素数次の魔方陣では，素因数分解がそもそもできない。

　では，３次・５次・７次では，「根源方陣」は無いのだろうか。
　無論，４次・８次・９次と同じ形・同じ意味では存在し得ない。
　ただし，５次・７次には,「根源的なもの」を象徴すると思われるものが１つだけある。原初五方陣・原初七方陣の最新の構成方法を思い起こしてほしい。
　補数対称型・汎対角線型・連立型対称汎魔方陣の３タイプに共通の「ひな形」である。
　連立型の中から選び出す限り，この３つの目的方陣の「ひな形」は共通にできるのであった。原初方陣は，そのひな形と目的方陣から条件を教わって各々構成すれば良い。つまり，目的方陣の全タイプの解全数個を，その「ひな形」が予め知っているのである。
　この「ひな形」を「根源的なもの」と指名できるのではないか。

　４次・８次・９次では，原初方陣の方が「根源的なもの」になり，３次・５次・７次では，ひな形の方が「根源的なもの」になる。小生はそう考えている。
（on April 4, 2006; 追記者：摂田　寛二(Kanji Setsuda)）

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